הסבר זה קשור למאמר בין הסתברות למשמעות

בעיית ימי ההולדת, שלעתים קרויה גם פרדוקס ימי ההולדת, עוסקת בחווית הפליאה לשמע הגילוי ששני תלמידים בכיתה, נולדו באותו היום.

הסבר זה, שנמצא באתר של "דרך העומק", קשור למאמר: "בין הסתברות למשמעות" שמציג בין השאר את הדעה, שעצם העובדה שקיימים הסברים הסתברותיים-סטטיסטיים לאירועים שונים בחיינו, לא מוציא בהכרח את ההסברים ה"מיסטיים" של נתינת משמעות לאירועים אלה. ראו את המאמר כאן

נתחיל משורת הפתרון:

מתברר שבכיתה שיש בה 23 אנשים, ישנו סיכוי של מעל 50% שלשניים מהם יש יום הולדת באותו התאריך (יום וחודש). 

הגדרת הבעיה

מה הסיכוי שבקבוצה של 23 איש, יש לשני אנשים לפחות יומולדת באותו התאריך  (יום/חודש)?

התשובה 

א. אירוע משלים

כדי לחשב את הסיכוי שבקבוצה של 23 של אנשים, יש לשני אנשים לפחות, יום הולדת באותו תאריך (יום וחודש), נסתכל על האירוע המשלים.

האירוע המשלים: מה הסיכוי שבקבוצה של 23 אנשים, לאף אחד אין יום הולדת באותו היום (יום וחודש)? 

אחרי שנדע מה הסיכוי של האירוע המשלים, נוכל להחסיר אותו מ- 1 ואז לקבל את הסיכוי לאירוע עצמו (זה שבשאלה).

ב. שאלה מקדימה של שלושה ילדים בכיתה

כדי לפשט את הפתרון, נתחיל לחשב את הסיכוי שבקבוצה של שלושה חברים אין לאף אחד יום הולדת באותו היום:

1.
החבר הראשון יכול להיוולד בכל יום מימות השנה.

2. 
החבר השני יכול להיוולד בכל יום מימות השנה, חוץ מהיום שבו נולד החבר הראשון.

3.
החבר השלישי יכול להיוולד בכל יום מימות השנה, חוץ משני הימים שבהם נולדו החבר הראשון והשני, ולכן החישוב הוא:

{365-1)/365} X{365-2)/365} =  (364/365) X (363/365)

הכללה על 23 ילדים בכיתה

אם נחשב עכשיו עבור 23 חברים בכיתה:

{365-1)/365} X{365-2)/365}X{365-3)/365} X{365-4)/365}X…. {365-22)/365} =0.4927

ועכשיו נחסר את התוצאה מ-1:

1-0.4927=0.507

כלומר יש סיכוי של מעל 50% שבכיתה של 23 חברים, נמצא שניים שנולדו באותו יום (יום וחודש). 

50 איש בכיתה

אם מחשבים את אותו החישוב עבור קבוצה של  50 אנשים, מתברר שהתשובה מתקרבת כמעט ל-1 

הסבר פסיכולוגי להטייה 

רוב האנשים נותנים הסתברויות הרבה יותר נמוכות שאירועים כאלה יקרו מאשר הם באמת, כתוצאה מכך, הם מתפלאים שאירועים כאלה, דוגמת השאלה למעלה, מתרחשים. 

ההסבר המקובל להערכת חסר זו הוא התרכזותם של הנבדקים באירוע חיתוך אחד. 

כלומר, הנבדקים שואלים את עצמם (בטעות)  מה ההסתברות שעוד מישהו נולד ביום שלי, או שהם שואלים את עצמם, מה הסיכוי ששני אלה שלידי נולדו בדיוק באותו יום.

וזה לעומת שאלה אחרת שיש לשאול: 

למעשה, השאלה שואלת על אירוע איחוד של הרבה מאוד חיתוכים אפשריים. כלומר, יש לשאול מה הסיכוי שיש בכיתה שניים (לא משנה מי), שנולדו באותו תאריך (יום/ חודש). 

שימו לב, שבשאלה כפי שהיא מנוסחת, לא הגדרנו מי הזוג שצריכים להיווולד באותו תאריך (למשל, לא שאלנו שאלה של: מה הסיכוי שאני ועוד מישהו בכיתה שלי נולדנו באותו יום – זוהי שאלה אחרת, שהתשובה עליה היא עם סיכוי הרבה יותר נמוך).

חזרה למאמר על הסתברות ומשמעות